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微积分学习之路

目标用时：假期及一个学期
学习材料：《普林斯顿微积分读本》
学习辅助：百度
感谢的人：《普林斯顿微积分读本》作者：Adrian Banner、我的朋友：曾、我的父亲
感谢的软件：MathType(希望它多给我一些试用时间)、Sketchpad(单次使用时间能长点么？)

现在，开始(2021-01-23 09:09:21)

基础知识

函数

形式：
y=f(x)
函数是将一个对象转化为另一个对象的规则，起始对象称为输入，来自称为定义域的集合.返回对象称为输出，来自称为上域的集合.
注意：值域是上域的子集，上域是可能输出的集合，值域是实际输出的集合
例如：f(x)=x^2 （x∈R） 一个有用的表(点击)
上域是R(实数集合)
值域是所有非负数

在不看到f(x)=x^2,只看到y=f(x)和x∈R的情况下，你会想到y等于任意的一个实数，这就是上域，而值域则是你看到此等式后想到的

区间的表示方法

1. 1、闭区间
   1. 表示方法：[a,b]
   2. 意思是≥a，≤b
2. 2、开区间
   1. 表示方法：(a,b)
   2. 意思是＞a，＜b
3. 3、半开区间
   1. 表示方法1：（a,b]
      1. 意思是＞a，≤b
   2. 表示方法2：[a,b)
      1. 意思是≥a，＜b

求定义域

切记三点：

1. 分数分母不能为0!
2. 不能取负数的偶次根!（和虚数一起不会很舒服！）
3. 不要取非正数的对数!

求值域

方法：

1. 法1.看图像上各点的y值的范围
2. 法2.将定义域经过f（x）变化，得到值域

垂线检验

要检测一图象是否是函数图像，需用到垂线检验
垂线检验检验同一条x轴的垂线上与函数图像是否有≥2个交点

1. 若有≥1条垂线上有≥2个交点，则这不是一个函数图像
2. 若没有一条垂线上有≥2个交点，则这是一个函数图像

理由：一个函数必须给每一个有效的输入唯一的输出，也就是说，x在f(x)的变化后，得到的值始终不变

但是，这会很迷惑......

难道这不是一个函数？ ←这显然是错误的

其实，这是两个函数：
y=√1-x^2和y=-√1-x^2

反函数

现有一函数：y=f(x)若又有一函数y=g(x)中x与原函数的y对应，且每一个y值都与f(x)中的x值对应，则称此函数为原函数的反函数，记作y=f^-1(x)
例如:y=x^3的反函数是y=3√x(立方根)←x,y交换位置再变等式
特点:

1. 两个函数关于y=x对称

例如:
(图中直接写成了x=y^5+6^2,未转化)

水平线检验

要检验一个函数是否有反函数，需用到水平线检验
水平线检验检验x轴的平行线上与函数图像是否有≥2个交点

1. 若有≥1条平行线线上有≥2个交点，则此函数没有反函数
2. 若没有一条平行线上有≥2个交点，则此函数有反函数

理由:因为反函数是知y求x，而如果有≥2个交点，则说明有一些不同的x值会有相同的y值，故在反函数中，你会有1个x对应多个y的情况，这不是函数，没有反函数
例如:y=x^2，它不符合水平线检验，没有反函数
y=√x和y=-√x

限制定义域

若想求一个本没有反函数的函数的反函数，需要限制定义域
还是上面的例子:y=x^2，你可以将定义域限制为[0,∞），则它有了反函数:y=√x

反函数的反函数

先想一个函数，y=f(x)再想一个它的反函数，y=g(x)，它的y值和第一个函数中的x对应，那你再想y=g(x)的反函数y=h(x)其中，它的y值与第二个函数的x对应
你会发现，反函数的反函数就是原函数

函数的复合

若函数f(x)可写为g(h(x)),则称f是g与h的复合，换言之，f是g与h的复合函数，记作f=g○h
当然，f(x)也可能是更多函数的复合

奇函数和偶函数

奇函数

若函数f(x)的定义域中都有f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数
也就是说，x的正负性影响且只影响f(x)的正负性
奇函数具有关于原点的180°对称性

偶函数

若函数f(x)的定义域中都有f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数
也就是说，x的正负性不影响f(x)的正负性
偶函数关于y轴对称

线性函数

线性函数也就是一次函数，形式：
y=kx+b
图像就是一条直线，其中，a为该直线的斜率

斜率公式

若知道一条直线经过的两点(x1.y1)和(x2,y2),如图:

斜率公式及推导过程为:

点斜式

若知道直线经过的一个点(x0,y0)和斜率k,则该直线的方程为:

此外还有更多有关直线的公式，此处不再多述