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微积分学习之路

目标用时：假期及一个学期
学习材料：《普林斯顿微积分读本》
学习辅助：百度
感谢的人：《普林斯顿微积分读本》作者：Adrian Banner、我的朋友：曾、我的父亲
感谢的软件：MathType(希望它多给我一些试用时间)、Sketchpad(单次使用时间能长点么？)

现在，开始(2021-01-23 09:09:21)

基础知识

基础中的基础

函数

形式：
y=f(x)
函数是将一个对象转化为另一个对象的规则，起始对象称为输入，来自称为定义域的集合.返回对象称为输出，来自称为上域的集合.
注意：值域是上域的子集，上域是可能输出的集合，值域是实际输出的集合
例如：f(x)=x^2 （x∈R） 一个有用的表(点击)
上域是R(实数集合)
值域是所有非负数

在不看到f(x)=x^2,只看到y=f(x)和x∈R的情况下，你会想到y等于任意的一个实数，这就是上域，而值域则是你看到此等式后想到的

区间的表示方法

1. 1、闭区间
   1. 表示方法：[a,b]
   2. 意思是≥a，≤b
2. 2、开区间
   1. 表示方法：(a,b)
   2. 意思是＞a，＜b
3. 3、半开区间
   1. 表示方法1：（a,b]
      1. 意思是＞a，≤b
   2. 表示方法2：[a,b)
      1. 意思是≥a，＜b

求定义域

切记三点：

1. 分数分母不能为0!
2. 不能取负数的偶次根!（和虚数一起不会很舒服！）
3. 不要取非正数的对数!

求值域

方法：

1. 法1.看图像上各点的y值的范围
2. 法2.将定义域经过f（x）变化，得到值域

垂线检验

要检测一图象是否是函数图像，需用到垂线检验
垂线检验检验同一条x轴的垂线上与函数图像是否有≥2个交点

1. 若有≥1条垂线上有≥2个交点，则这不是一个函数图像
2. 若没有一条垂线上有≥2个交点，则这是一个函数图像

理由：一个函数必须给每一个有效的输入唯一的输出，也就是说，x在f(x)的变化后，得到的值始终不变

但是，这会很迷惑......

难道这不是一个函数？ ←这显然是错误的

其实，这是两个函数：
y=√1-x^2和y=-√1-x^2

基础中的高级知识

反函数

现有一函数：y=f(x)若又有一函数y=g(x)中每一个y值都与f(x)中的x值对应，则称此函数为原函数的反函数，记作:x=f^-1(y)
例如:y=x^3的反函数是y=3√x(立方根)←x,y交换位置再变等式
特点:

1. 两个函数关于y=x对称

例如:
(图中直接写成了x=y^5+6^2,未转化)

水平线检验

要检验一个函数是否有反函数，需用到水平线检验
水平线检验检验x轴的平行线上与函数图像是否有≥2个交点

1. 若有≥1条平行线线上有≥2个交点，则此函数没有反函数
2. 若没有一条平行线上有≥2个交点，则此函数有反函数

理由:因为反函数是知y求x，而如果有≥2个交点，则说明有一些不同的x值会有相同的y值，故你可能求不出准确的x，没有反函数