微积分笔记

函数

• 反函数与原函数关于 y=x镜面对称

• 函数的复合

$f(x)=h(g(x))$可表示为 $f=hOg$，即f是g与h的复合。

• 有理函数

$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$

• 三角函数

余割：$csc(x)=\frac{1}{sin(x)}$
正割：$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$
余切：$cot(x)=\frac{1}{tan(x)}$

勾股定理（毕达哥拉斯定理）：

$co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$

“互余”：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 三角函数(x)=co-三角函数(\frac{\pi}{2}-x)} ，如：

$sin(x)=cos(\frac{\pi }{2}-x),sec(x)=csc(\frac{\pi }{2}-x),tan(x)=cot(\frac{\pi }{2}-x)$

其他公式：

$sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$

$cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)$

极限导论

三明治定理(又称作 夹逼定理)：如果一个函数 f 被夹在函数 g 和 h 之间, 当 x → a 时, 这两个函数 g 和 h 都收敛于同一个极限 L, 那么当 x → a 时, f 也收敛于极限 L.

多项式

立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

函数的导数

乘积法则：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果h(x)=f(x)g(x)，那么h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果 y=uvw，那么 \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}}

商法则：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果 h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}，那么 h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}}

链式求导法则：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果 h(x)=f(g(x))，那么 h'(x)=f'(g(x))g'(x)}

三角函数

三角函数关键公式：
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

指数函数和对数函数

如果$N=a^x$，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作$x={\log }_{a}N$。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

1. 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
2. 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
3. 零没有对数。
4. 在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。

对数法则

...略
${\log }_b(x^y)=ylo{g}_b(x)$
${\log }_b(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_b(c)}$

复利极限

令 $e=\underset{h\to 0+}{\lim }(1+h{)}^{1/h}$(e=2.718...)，则：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$ 和 $\underset{h\to 0}{\lim }(1+xh{)}^{1/h}=e^x$

导数

$\frac{d}{dx}{\log }_b(x)=\frac{1}{xln(b)}$ 和 $\frac{d}{dx}(b^x)=b^{x}ln(b)$

指数增长/衰减方程

$P(t)=P_0{e}^{k}t$，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。

双曲函数

定义：

$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

有：

$cos{h}^2(x)-sin{h}^2(x)=1$

$\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)$

$\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)$

曲线：

最优化和线性化

误差方程：

$r(x)=\frac{1}{2}{f}^{″}(c)(x-a{)}^2$

取绝对值：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle |误差|=\frac{1}{2}|f''(c)||x-a|^2}

对 $|f^{″}(c)|$取最大值 M：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle |误差|<=\frac{1}{2}M|x-a|^2}