微积分笔记

三角函数

三角函数关键公式：$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

指数函数和对数函数

如果$N=a^x$，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作$x={\log }_{a}N$。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

1. 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
2. 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
3. 零没有对数。
4. 在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。

对数法则

...略
${\log }_b(x^y)=ylo{g}_b(x)$
${\log }_b(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_b(c)}$

复利极限

令 $e=\underset{h\to 0+}{\lim }(1+h{)}^{1/h}$(e=2.718...)，则：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$ 和 $\underset{h\to 0}{\lim }(1+xh{)}^{1/h}=e^x$

导数

$\frac{d}{dx}{\log }_b(x)=\frac{1}{xln(b)}$ 和 $\frac{d}{dx}(b^x)=b^{x}ln(b)$

指数增长/衰减方程

$P(t)=P_0{e}^{k}t$，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。

双曲函数

定义：

$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

有：

$cos{h}^2(x)-sin{h}^2(x)=1$

$\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)$

$\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)$