《概率论与数理统计》笔记

概率论与数理统计，是研究随机现象所具有的统计规律性的数学学科。

事件的概率

条件概率

A已发生的条件下，B的概率：

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

另有：

$P(\overline{B}|A)=1-\frac{P(AB)}{P(A)}$

乘法公式

$P(AB)=P(B|A)P(A)$

若 P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A和事件B相互独立。

随机变量

设随机试验的样本空间为$S$，对于试验的每一个结果解析失败 (语法错误): {\displaystyle w ∈ S} ，$X$都有一个指定的实数$X=X(w)$与之对应，则称$X$为随机变量。

离散型随机变量

设试验$E$只有两个可能的结果$A$和$\overline{A}$，记$P(A)=p(0<p<1)$，则称$E$是一个伯努利试验。

二项分布

$X$是 $n$重伯努利试验中，事件$A$发生的次数，则$X$具有分布率（发生$k$次）：

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},(k=0,1,2,\mathrm{3...}n)$

则称为$X$服从以$n,p$为参数的的二项分布，记为$X\sim B(n,p)$.

泊松(Poisson)分布

设随机变量$X$的分布律为

$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!},(k=0,1,2,3,\mathrm{...})$

其中$\lambda$为常数，则称随机变量$X$服从以$\lambda$为参数的泊松分布，记为$X\sim \pi (\lambda )$.

连续型随机变量

设$X$是随机变量，如果存在在整个实数轴上的可积函数$f(x)$，满足：

(1) $f(x)\ge 0$, 其中$(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

(2) $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)=1$

(3) $P\{a\le X\le b\}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

则称$X$是连续型随机变量，而$f(x)$称为$X$的概率密度函数，简称概率密度。

均匀分布

设连续型随机变量$X$具有概率密码函数，

解析失败 (未知函数“\begin{cases}”): {\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &(a<x<b) \\ 0 &(其他) \end{cases} }

则称$X$在区间$(a,b)$上服从均匀分布，记为$X\sim U(a,b)$.

指数分布

设连续型随机变量$X$具有概率密码函数，

解析失败 (未知函数“\begin{cases}”): {\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\beta}e^{\frac {-x}{\beta}} &(x>0) \\ 0 &(其他) \end{cases} }

其中$\beta >0$为常数，则称$X$服从以$\beta$为参数的指数分布，记为$X\sim E(\beta )$.

正态分布/高斯分布

设连续型随机变量$X$具有概率密码函数，

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-(x-u{)}^2}{2{\sigma }^2}}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

其中$u,\sigma$为常数，则称$X$服从以$u,\sigma$为参数的正态分布，又称高斯分布，记为$X\sim N(u,{\sigma }^2)$.