微积分笔记

函数

• 反函数与原函数关于 y=x镜面对称

• 函数的复合

$f(x)=h(g(x))$可表示为 $f=hOg$，即f是g与h的复合。

• 有理函数

$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$

• 三角函数

余割：$csc(x)=\frac{1}{sin(x)}$
正割：$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$
余切：$cot(x)=\frac{1}{tan(x)}$

勾股定理（毕达哥拉斯定理）：

$co{s}^2(x)+si{n}^2(x)=1$

“互余”：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 三角函数(x)=co-三角函数(\frac{\pi}{2}-x)} ，如：

$sin(x)=cos(\frac{\pi }{2}-x),sec(x)=csc(\frac{\pi }{2}-x),tan(x)=cot(\frac{\pi }{2}-x)$

其他公式：

$sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)$

$cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)$

极限导论

三明治定理(又称作 夹逼定理)：如果一个函数 f 被夹在函数 g 和 h 之间, 当 x → a 时, 这两个函数 g 和 h 都收敛于同一个极限 L, 那么当 x → a 时, f 也收敛于极限 L.

多项式

立方差公式：$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

函数的导数

乘积法则：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果h(x)=f(x)g(x)，那么h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果 y=uvw，那么 \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}}

商法则：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果 h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}，那么 h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}}

链式求导法则：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle 如果 h(x)=f(g(x))，那么 h'(x)=f'(g(x))g'(x)}

三角函数

三角函数关键公式：
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=1$

指数函数和对数函数

如果$N=a^x$，即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作$x={\log }_{a}N$。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”。

1. 特别地，我们称以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并记为lg。
2. 称以无理数e（e=2.71828...）为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并记为ln。
3. 零没有对数。
4. 在实数范围内，负数无对数； 在复数范围内，负数是有对数的。

对数法则

...略
${\log }_b(x^y)=ylo{g}_b(x)$
${\log }_b(x)=\frac{{\log }_c(x)}{{\log }_b(c)}$

复利极限

令 $e=\underset{h\to 0+}{\lim }(1+h{)}^{1/h}$(e=2.718...)，则：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{x}{n}{)}^n=e^x$ 和 $\underset{h\to 0}{\lim }(1+xh{)}^{1/h}=e^x$

导数

$\frac{d}{dx}{\log }_b(x)=\frac{1}{xln(b)}$ 和 $\frac{d}{dx}(b^x)=b^{x}ln(b)$

指数增长/衰减方程

$P(t)=P_0{e}^{k}t$，k为增长/衰减常数，k>0时为增长方程，相应地，k<0为衰减方程。

双曲函数

定义：

$cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2},sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

有：

$cos{h}^2(x)-sin{h}^2(x)=1$

$\frac{d}{dx}sinh(x)=cosh(x)$

$\frac{d}{dx}cosh(x)=sinh(x)$

曲线：

最优化和线性化

线性化

对于函数 $f$ 在 $x$ 上的值 $f(x)$，可以选取一个接近于 $x$ 的 $a$(使得 $f(a)$可以轻易计算)，再对 $f$求导得出 $f^{\prime }(x)$，则可利用线性化计算出 $f(x)$：
$f(x)\approx L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

误差方程：

$r(x)=f(x)-L(x)=\frac{1}{2}{f}^{″}(c)(x-a{)}^2$

取绝对值：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle |误差|=\frac{1}{2}|f''(c)||x-a|^2}

对 $|f^{″}(c)|$取最大值 M：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle |误差|\le\frac{1}{2}M|x-a|^2}

牛顿法

对于某些函数 $f(x)$，我们想取其与 $x$轴交点，即 $f(x)=0$时对应的 $x$，直接计算非常困难，我们则可以尝试用牛顿法逼近：

我们先取任意一点，如 $x_n$，然后计算出对应的 $f(x_n)$，然后应用线性化模拟 $f(x)$，取出对应线性函数与 $x$轴交点，有：

$f(x_n)+(x_{n+1}-x_n)f^{\prime }(x_n)=0$

这样我们可以得到 $x_{n+1}=xn-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(xn)}$

一般情况下，$x_{n+1}$ 对应的 $f(x_{n+1})$ 是比 $f(x_n)$更接近于 0的，如此迭代，则能无限逼近 $f(x)=0$的解 $x$.

洛必达法则

如果$f(a)=g(a)=0$，则有 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$，假设等式右边的极限存在。

积分

求$\sum _{j=a}^{b}j$的值：

我们知道 $\sum _{j=a}^{b}j$ = $\sum _{j=a}^b(b-j+a)$，我们令其和为 S，则：

$\sum _{j=a}^{b}j+\sum _{j=a}^b(b-j+a)=2S$，而

$\sum _{j=a}^{b}j+\sum _{j=a}^b(b-j+a)=a+b+(a+1)+(b-1)+\mathrm{...}+j+(b-j+a)+\mathrm{...}+b+a=\sum _{j=a}^b(a+b)=(a+b)(b-a)=2S$，即：

$\sum _{j=a}^{b}j=\frac{(a+b)(a-b)}{2}$

伸缩求和法

求$\sum _{j=1}^n(j^2-(j-1{)}^2)$的值：

$\sum _{j=1}^n(j^2-(j-1{)}^2)=(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+(3^2-2^2)+\mathrm{...}+(n^2-(n-1{)}^2)=n^2-0^2$

这样的级数我们称为伸缩级数，有：

$\sum _{j=a}^b(f(j)-f(j-1))=f(b)-f(a-1)$

同样，对于 $\sum _{j=1}^n(j^2-(j-1{)}^2)$，我们将 $(j^2-(j-1{)}^2)$进行分解，得到$2j-1$：

$\sum _{j=1}^n(j^2-(j-1{)}^2)=\sum _{j=1}^n(2j-1)=2\sum _{j=1}^{n}j-n$，代入伸缩级数求和的值 $n^2-0^2$，可以同样得出：

$\sum _{j=1}^{n}j=\frac{n^2-0^2+n}{2}=\frac{(n+1)n)}{2}$

类似地，可以得出：

$\sum _{j=1}^n{j}^2=\frac{n(n+1)(2n+1))}{2}$

微积分

令$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$，有：

微积分第一基本定理：

$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt=f(x)$

• 如此，在计算 $\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$时，由于 $F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$，我们只要求出对应的 $F(x)$即可，而 $F^{\prime }(x)=f(x)$，故只要思考得到什么函数的导数是$f(x)$，则可得到 $F(x)=G(x)+C$，再代入$F(a)=G(a)+C=0$即可求出常量 $C$。

微积分第二基本定理：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)d(t)=F(b)-F(a)$

不定积分

解析失败 (语法错误): {\displaystyle &int;f(x)d(x)} 表示函数$f(x)$的反导数集合，如果 $\frac{d}{dx}F(x)=f(x)$，则：

解析失败 (语法错误): {\displaystyle &int;f(x)d(x) = F(x) + C}

分部积分法

解析失败 (语法错误): {\displaystyle &int;udv = uv - &int;vdu}

反常积分

定义

如果出现下面三种情况，积分 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$就是反常积分：

1. 函数$f(x)$在 $[a,b]$内是无界的
2. $a=\mathrm{\infty }$
3. $b=-\mathrm{\infty }$

收敛or发散

如果仅仅在 x接近于 a点该函数 f(x)是无界的，则定义：

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{a+\epsilon }{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

如果积分存在，我们说这个反常积分收敛，否则则为发散。

无穷区间上的积分

$\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{a}{\overset{N}{\int }}f(x)dx$

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{N\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{N}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

极限比较判别法

如果 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$，我们说当 $a\to b$时，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是渐近等价的，即 $f(x)\sim g(x)$。

极限比较判别法 定义：

如果 $a\to b$时 $f(x)\sim g(x)$，且这两个函数 [a,b]上没有其他瑕点了，那么积分 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$ 与 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx$是同时收敛或同时发散的。

p判别法

• $\underset{}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$的情况：对于任何有限值 $a>0$，积分 $\underset{a}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x^p}dx$，在 $p>1$ 时是收敛的，在 $p\le 1$时是发散的。
• $\underset{0}{\int }$的情况：对于任何有限值 $a>0$，积分 $\underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{x^p}dx$，在 $p<1$ 时是收敛的，在 $p\ge 1$时是发散的。

绝对收敛判别法

如果$\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$是收敛的，那么 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$也是收敛的。

复数

欧拉公式

解析失败 (语法错误): {\displaystyle x+iy=re^{i&theta;}}